1. Visa att `6|n^3+5n`
Svar:
`n^3+5n = n^3-n+6n = (n-1)n(n+1) + 6n`.
(Tre på varandra följande heltal är alltid delbart med 6)
2. Visa att `30|n^5-n`
Svar:
`n^5-n = n(n-1)(n+1)(n^2+1)` De första tre faktorerna är på varandra följande heltal. Delbarhet med 5 följer av Fermat's teorem.
3. För vilka `n` gäller `120|n^5-n` ?
Svar:
Om `n` är udda eller delbart med 4 så är `n^5-n` delbart med 120.
4. Låt `A=3^105+4^105`.
(a) Visa att `7|A`.
(b) `A*mod(11) = ?`
(c) `A*mod(13) = ?`
Svar:
`7|A` eftersom 105 är udda.
`3^5-=1*mod(11)`, `4^5-=1*mod(11)`
Vi får: `3^105 + 4^105 =(3^5)^21 + (4^5)^21 -= 1+1 -= 2*mod(11)`
5. `641|2^32+1` Sant eller falskt? Ingen miniräknare!
Svar:
`641 = 5^4 + 2^4 = 5*2^7+1` delar både 5^4*2^28+2^32 och 5^4*2^28-1.
Då delar det även skillnaden mellan de båda talen.
6. Visa att om `p` är ett primtal, så är `p^2 -= 1*mod(24)`.
Svar:
För `p>3` så har vi att `p`kan skrivas på formen `p=6n+-1` och då följer det automatiskt att kongruensen gäller.
7. Visa att om `p` och `p^2+2` är primtal, då är även `p^3+2` ett primtal.
Svar:
`p` måste vara udda. `p=3` ger `p^2+2=11`, `p^3+2=29`
För `p>3` har vi att `p=6n+-1`, men `p^2+2` är delbart med 3.
8. Hur många nollor slutar `1000!` med?
Svar:
Antalet femmor i 1000! är `200+40+8+1=249` Antalet tvåor är tillräckligt för att matcha varje femma för att få 10, därför slutar 1000! med 249 nollor.
9. Visa att bland fem heltal så kommer det alltid finns tre tal med en summa som är delbar med 3.
Svar:
Vi tänker tre boxar 0,1,2. Vi placerar ett nummer i boxen i om dess rest när man delar med 3 är i.
Vi kommer få två möjliga utfall.
Antingen kommer det bli 3 nummer i en av boxarna, och då får vi 3 tal med summan `0*mod(3)`.
Eller också kommer det bli minst ett nummer i varje box, och då är summan av dessa tre tal delbart med 3.
10. Det fyrasiffriga talet aabb är en kvadrat. Finn talet.
Svar:
Antag `n^2=aabb`. Då är `n^2 = 1100a+11b = 11(100a+b) = 11(99a+a+b)`.
Eftersom `n^2` är delbart med `11^2` så ser vi att `11|a+b => a+b=11`.
Eftersom `n^2` är en kvadrat följer att `b` inte kan vara `0, 1, 2, 3, 5, 7, 8`.
Genom att testa de återstående siffrorna får vi att det enda talet som passar in är `7744 = 88^2`.
